Mecânica de Lagrange

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
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v • e

A mecânica de Lagrange ou mecânica lagrangiana, nomeada em honra ao seu conceptor, Joseph-Louis Lagrange, é uma formulação da mecânica clássica que combina a conservação do momento linear com a conservação da energia. Exposta pela primeira vez no livro Méchanique Analytique em 1788, a formulação é provida de um potente ferramental matemático equivalente a qualquer outra formulação da mecânica, como por exemplo, o formalismo newtoniano.

Na mecânica lagrangiana, a trajetória de um sistema de partículas é obtida resolvendo as equações de Lagrange em uma de suas duas formas, chamadas equações de Lagrange de primeiro tipo, que trata as restrições explicitamente como equações adicionais, geralmente utilizando os multiplicadores de Lagrange;e as equações de Lagrange de segundo tipo, que incorporam as restrições diretamente na escolha das coordenadas generalizadas. 

O lema fundamental do cálculo das variações mostra que resolver as equações de Lagrange é equivalente a encontrar o caminho que minimiza a funcional ação, uma quantidade que é a integral da função de Lagrange ${\displaystyle L\,\!}$ no tempo.

Dado um conjunto de coordenadas generalizadas ${\displaystyle q=\{q_{i}\}\,\!}$ para descrever o sistema físico estudado, a Lagrangiana de qualquer sistema o caracteriza de forma unívoca e pode apresentar as seguintes dependências funcionais ${\displaystyle L=L(q_{i},{\dot {q_{i}}},t)\,\!}$, em que ${\displaystyle {\dot {q_{i}}}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}},\,\!}$ que são as velocidades generalizadas.

Pelo Princípio de Hamilton , que nos diz que o trajeto real da partícula , entre os instantes ${\displaystyle t_{i}\,\!}$ e ${\displaystyle t_{f}\,\!}$ é aquele que minimiza a ação ${\displaystyle S\equiv \int _{t_{i}}^{t_{f}}L(q_{i},{\dot {q_{i}}},t)dt\,\!}$ . Fixados os extremos da trajetória no espaço de configuração. Encontramos  as equações de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)=0,\,\!}$

que são equações diferenciais parciais de segunda ordem em ${\displaystyle t\,\!}$.

No caso de um sistema não-conservativo (ou dissipativo), temos

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)=-Q_{i}^{ext}\,\!}$

em que ${\displaystyle Q_{i}^{ext}=\sum _{j}^{N}{\vec {F}}_{j}^{ext}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{j}}{\partial q_{i}}}}$ são as forças generalizadas externas.

A Mecânica Lagrangeana é baseada num formalismo escalar mais simples e geral, quando comparado ao formalismo vetorial de Newton. 

Com isso, ela é capaz de descrever igualmente bem fenômenos a baixas velocidades ou a velocidades relativísticas. 

O único aspecto que difere entre cada caso é a Função de Lagrange.

Uma escolha para as coordenadas generalizadas

Joseph-Louis Lagrange

Em um sistema clássico, por exemplo, temos que ${\displaystyle q_{i}=r\,\!}$ (aqui estamos assumindo que as coordenadas generalizadas são os módulos dos vetores posição de cada partícula que compõem o sistema) e a Função de Lagrangedefine-se como

${\displaystyle L(r,{\dot {r}},t)=T(r,{\dot {r}},t)-U(r)\,\!}$

Em que ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}\,\!}$ é a Energia Cinética e ${\displaystyle U\,\!}$ é a Energia Potencial de Interação.

Quanto às equações de Euler-Lagrange, temos

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial r}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)=0.\,\!}$

Aplicação "clássica"

A Mecânica de Lagrange tem a vantagem de resolver elegantemente problemas complexos, sendo um bom exemplo do grau de abstração embutido no formalismo de Lagrange a simplicidade com que podemos deduzir as Leis de conservação a partir das simetrias do espaço-tempo. 

Deixa-se, aqui, a título de exemplo, a dedução da Conservação do Momento Linear:

• Conservação do Momento Linear

Sendo o espaço homogêneo^[8], tem-se que ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial r}}=0\,\!}$. Num sistema isolado (conservativo), pelas equações de Euler-Lagrange, temos ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)=0\,\!}$. Definindo ${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\,\!}$ ^[9], chegamos a ${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=0.\,\!}$

Princípio de D'Alembert e forças generalizadas

Jean Le Rond d'Alembert em 1753

O Princípio de D'Alembert introduz o conceito de Força Virtual ou Trabalho Virtual devido a aplicação de forças F _i e forças e inerciais, agindo em um sistema tri-dimensional acelerado de n partículas que em movimento é consistente com as suas limitações,^[10]

Matematicamente, o trabalho virtual feito AW em uma partícula de massa ${\displaystyle m_{i}}$através de um deslocamento virtual δ r _i (consistente com as restrições) é:

Princípio de D'Alembert

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}$

onde ${\displaystyle a_{i}}$ são as acelerações das partículas no sistema i = 1, 2,...,nsimplesmente rotulam as partículas. 

Em termos de coordenadas generalizadas

${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=0.}$

essa expressão sugere que as forças aplicadas possam ser forças generalizadas, Q_j. Dividindo por δq_j da a definição de uma força generalizada:

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\delta W}{\delta q_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}.}$

Se as forças F_i são Força conservativa, há um campo escalar potencial V em que o gradiente de V é a força:

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=-\nabla V\Rightarrow Q_{j}=-\sum _{i=1}^{n}\nabla V\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}.}$

Forças generalizadas podem ser reduzidas para um gradiente de potencial em termos de coordenadas generalizadas. 

O resultado anterior pode ser mais fácil de ver, reconhecendo que V é a função de r_i, que por sua vez são funções de q_j, e, em seguida aplicando a Regra da cadeia para a derivada de ${\displaystyle V}$ em relação a q_j.

Relações de energia cinética

A energia cinética, T, para o sistema de partículas é.

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot \mathbf {\dot {r}} _{i}.}$

As derivadas parciais de T em relação às coordenadas generalizadas ${\displaystyle q_{j}}$ e velocidades generalizadas ${\displaystyle {\dot {q}}_{j}}$ são ^[10]:269:

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial q_{j}}}}$

${\displaystyle \quad {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}.}$

Porque ${\displaystyle {\dot {q_{j}}}}$ e ${\displaystyle q_{j}}$ são variáveis independentes:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial {\dot {q_{j}}}}}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}.}$

Então :

${\displaystyle \quad {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}.}$

O Tempo total derivado desta equação é:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\ddot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial q_{j}}}=Q_{j}+{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}},}$

resultando em:

Equações de movimento generalizadas

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}.}$

Esta é uma importante equação. 

As Leis de Newton estão contidas nela e não existe nenhuma necessidade de encontrar as forças de restrição, porque o trabalho virtual e coordenadas generalizadas (que representam restrições) são usados. 

Esta equação em si não é realmente usada na prática, mas é um passo para derivar as equações de Lagrange.

Lagrangiano e ação

O elemento central da mecânica de Lagrange é a função de Lagrange, função que resume a dinâmica de todo o sistema em uma expressão muito simples. 

A física de análise de um sistema é reduzida para a escolha do conjunto mais conveniente de coordenadas generalizadas, determinando as energias potencial e cinética dos constituintes do sistema, então escrevemos a equação do Lagrangeano nas equações de Lagrange. 

Que é definido pela^[12]

${\displaystyle L=T-V,}$

onde T é o total de energia cinética V é o total de energia potencial do sistema.

O próximo elemento fundamental é a ação ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, definida como a integral do Lagrangeano no tempo:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t.}$

Este contém também a dinâmica do sistema, e tem implicações teóricas profundas. 

Formalmente a ação não é uma função, mas um funcional: seu valor depende da função de Lagrange em todos os instantes entre t₁ e t₂. Sua dimensão é a mesma do momento angular.

Na teoria de campos, a densidade Lagrangeana deve ser utilizada:

${\displaystyle L=\int _{V}{\mathcal {L}}\mathrm {d} ^{3}r\,}$

e a ação torna-se um integral no espaço e no tempo:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{V}{\mathcal {L}}\mathrm {d} ^{3}r\mathrm {d} t.}$

Derivação de equações de Lagrange

Princípio de Hamilton

As equações de Euler-Lagrange seguem diretamente o princípio de Hamilton, e são matematicamente equivalentes. 

A partir do cálculo das variações, qualquer funcional da forma:

${\displaystyle J=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F(x,y,y')\mathrm {d} x}$

leva à equação geral de Euler-Lagrange para o valor estacionário de J:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial y'}}={\frac {\partial F}{\partial y}}.}$

Então, fazendo as substituições:

${\displaystyle x\rightarrow t,\quad y\rightarrow q,\quad y'\rightarrow {\dot {q}},\quad F\rightarrow L,\quad J\rightarrow {\mathcal {S}},}$

se produz as equações de Lagrange para a mecânica. 

Como, matematicamente, as equações de Hamilton podem ser derivadas a partir de equações de Lagrange e as equações de Lagrange podem ser derivadas a partir das Leis de Newton, as quais são equivalentes e resumem a mecânica clássica, podemos observar que a mecânica clássica é fundamentalmente governada por um princípio de variação (princípio de Hamilton acima).

Forças generalizadas

Para um sistema conservativo, uma vez que o campo de potencial é só uma função da posição, não a velocidade, as equações de Lagrange também se seguem diretamente a partir da equação de movimento acima:

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {(}}L+V)}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {(}}L+V)}{\partial q_{j}}}=\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)+0\right]-\left[{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+Q_{j}.}$

simplificando temos

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}}$

Isto é consistente com os resultados obtidos acima, e pode ser visto através da diferenciação do lado direito do lagrangiano em relação à ${\displaystyle {\dot {q}}_{j}}$ e tempo, e somente com relação a q_j, somando os resultados e associando um acordo com as equações de F_i e Q_j.

Princípio de Hamilton de ação estacionária

Deixemos q₀ e q₁ serem as coordenadas em respectivos tempos iniciais e finais t₀ e t₁. 

Usando o Cálculo das variações, pode-se mostrar que as equações de Lagrange são equivalentes ao princípio de Hamilton:

A trajetória do sistema entre t₀ e t₁ tem uma 'ação estacionária' S.

Por estacionário, queremos dizer que a ação não varia da primeira ordem para deformações infinitesimais da trajetória, com os pontos finais (q₀, t₀) e (q₁,t₁) corrigidos. 

O Princípio de Hamilton pode ser escrito como:

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0.\,\!}$

Assim, em vez de pensar sobre partículas aceleradas em resposta a forças aplicadas, pode-se pensar nelas escolhendo o caminho com uma ação estacionária.

O Princípio de Hamilton é muitas vezes referido como o princípio da mínima ação. 

No entanto, a ação funcional só precisa ser estacionária, não necessariamente a um valor máximo ou mínimo. 

Qualquer variação das funcionais resulta em um aumento na integral funcional da ação.

Podemos usar este princípio em vez de as Leis de Newton como o princípio fundamental da mecânica, o que nos permite usar um princípio integral (Leis de Newton são baseadas em equações diferenciais para que elas sejam um princípio diferencial) como base para a mecânica.

Equações de Lagrange do primeiro tipo

Lagrange introduziu um método analítico para encontrar pontos fixos, utilizando o método de multiplicadores de Lagrange , e isto também se aplica à mecânica.

Para um sistema sujeito à equação de restrição nas coordenadas generalizadas:

${\displaystyle F(r_{1},r_{2},r_{3})=A}$

onde A é uma constante, então as equações de lagrange do primeiro tipo são:

${\displaystyle \left[{\frac {\partial L}{\partial r_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}_{j}}}\right)\right]+\lambda {\frac {\partial F}{\partial r_{j}}}=0}$

onde λ é o multiplicador de Lagrange. Por analogia com o procedimento matemático, podemos escrever:

${\displaystyle {\frac {\delta L}{\delta r_{j}}}+\lambda {\frac {\partial F}{\partial r_{j}}}=0}$

onde

${\displaystyle {\frac {\delta L}{\delta r_{j}}}={\frac {\partial L}{\partial r}}_{j}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}_{j}}}\right)}$

denota a Derivada variacional

Para e equações de restrição F₁, F₂,..., F_e, existe um multiplicador de Lagrange, para cada equação de restrição, e as equações do primeiro tipo de Lagrange a generalizar são:

Equações de Lagrange

${\displaystyle {\frac {\delta L}{\delta r_{j}}}+\sum _{i=1}^{e}\lambda _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{j}}}=0}$

Este procedimento faz aumentar o número de equações, mas ainda não são suficientes para resolver todos os multiplicadores. 

O número de equações é gerado o número de equações de restrição adicional, o número de coordenadas, e + m. 

A vantagem do método é que (potencialmente complicada) a substituição e eliminação das variáveis ​​ligadas por equações de restrição podem ser ignoradas.

Existe uma ligação entre as equações de restrição F_j e as forças de restrição N_j atuando no conservador do sistema (as forças são conservadoras):

${\displaystyle N_{j}=\sum _{i=1}^{e}\lambda _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{j}}}}$

que é derivado a seguir.

Equações de Lagrange do segundo tipo

Equações de Euler-Lagrange

Para qualquer sistema com m graus de liberdade, as equações de Lagrange incluem M coordenadas generalizadas e Mvelocidades generalizadas. 

Abaixo, vamos esboçar a derivação das equações de Lagrange do segundo tipo. 

Nesse contexto, V é usado ao invés de U para energia potencial e T substitui K de energia cinética.

As equações de movimento na mecânica de Lagrange são as equações Lagrangianas do segundo tipo', também conhecidas como as Equações de Euler-Lagrange

Equações de Lagrange 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}}$

onde j = 1, 2,...m representa o j grau de liberdade, q_j são as coordenadas generalizadas, e ${\displaystyle {\dot {q}}_{j}}$ são as velocidades generalizadas.

Embora a matemática necessária para equações de Lagrange pareça muito mais complicada do que as leis de Newton, isso aponta para uma percepção mais profunda do que as leis da mecânica clássica de Newton só: em particular, conceitos como simetria e conservação. 

Na prática, muitas vezes é mais fácil de resolver um problema usando as equações de Lagrange do que as leis de Newton, pois as coordenadas generalizadasq_i podem ser escolhidas por conveniência para explorar simetrias no sistema, e as forças de restrição são incorporadas na geometria do problema. 

Existe uma equação de Lagrange para cada coordenada generalizada q_i.

Para um sistema de muitas partículas, cada partícula pode ter diferentes números de graus de liberdade do que os outros. 

Em cada uma das equações de Lagrange, T é o total da energia cinética do sistema, e V o total da energia potencial.

Derivação das equações de Lagrange

Princípio de Hamilton

As equações de Euler-Lagrange se seguem diretamente do princípio de Hamilton, e são matematicamente equivalentes.

Do cálculo das variações, qualquer funcional da forma:

${\displaystyle J=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F(x,y,y')\mathrm {d} x}$

leva à geral equação de Euler-Lagrange para o valor estacionário de J:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial y'}}={\frac {\partial F}{\partial y}}}$

Em seguida, fazendo as substituições:

${\displaystyle x\rightarrow t,\quad y\rightarrow q,\quad y'\rightarrow {\dot {q}},\quad F\rightarrow L,\quad J\rightarrow {\mathcal {S}}}$

produz as equações de Lagrange para a mecânica. 

Desde que matematicamente as equações de Hamilton podem ser derivadas a partir de equações de Lagrange (por uma transformação de Legendre) e as equações de Lagrange podem ser derivadas a partir de leis de Newton, as quais são equivalentes em resumir a mecânica clássica, isto significa que mecânica clássica é fundamentalmente governada por um princípio de variação (princípio de Hamilton acima).

Forças generalizadas

Para um sistema conservativo, uma vez que o campo de potencial é só uma função da posição, não a velocidade, as equações de Lagrange também seguem diretamente a partir da equação de movimento acima:

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {(}}L+V)}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {(}}L+V)}{\partial q_{j}}}=\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)+0\right]-\left[{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+Q_{j}.}$

simplificando a

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}}$

Isto é consistente com os resultados obtidos acima e pode ser vista por diferenciação do lado direito do Lagrangiano com relação a ${\displaystyle {\dot {q}}_{j}}$ e tempo, e somente com relação ao q_j, somando os resultados e associando um acordo com as equações para F_i e Q_j.

As leis de Newton

Como os seguintes derivação mostraram, nenhuma nova física é introduzida, então as equações de Lagrange podem descrever a dinâmica de um sistema clássico equivalentemente como as leis de Newton.

[Expandir]Derivação das equações de Lagrange da 2 ª lei de Newton e o princípio de D'Alembert

Quando q_i = r_i (as coordenadas generalizadas são simplesmente as coordenadas cartesianas), é fácil verificar que as equações de Lagrange reduzem para a segunda lei de Newton.

Função da dissipação

Numa Formulação mais geral, as forças poderiam ser tanto potenciais e viscosas. Se uma transformação apropriada podem ser achada da F_i, indica-se usar um a função de dissipação, D, na seguinte forma:

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{m}C_{jk}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}.}$

onde C_jk elas são constantes que são relacionados com os coeficientes de amortecimento nos sistemas físicos, mas não são iguais a eles necessariamente.

Se D é definido deste jeito:}

${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}}$

então

${\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}.}$

Massa em queda

Considere um ponto de massa m em queda livre a partir do repouso. ]

Pela gravidade uma força F = mg é exercida nas massas (assumindo g uma constante durante o movimento). O preenchimento da força na relação de Newton, descobrimos que ${\displaystyle {\ddot {x}}=g}$ da qual a solução de

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2}}gt^{2}}$

segue (tomando a antiderivada da antiderivada e, escolhendo a origem como o ponto inicial). 

Este resultado também pode ser derivado por meio do formalismo lagrangiano. 

Tendo x para ser a coordenada em que 0 é ponto de partida.

A energia cinética é T = ¹⁄₂mv² e a energia potencial é V = −mgx; logo,

${\displaystyle L=T-V={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+mgx.}$.

então

${\displaystyle 0={\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=mg-m{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} t}}}$

a qual pode ser reescrita como ${\displaystyle {\ddot {x}}=g}$, originando o mesmo resultado.

Pêndulo sobre um suporte móvel

Pêndulo com suporte móvel

Considere um pêndulo de massa m e comprimento ℓ, que está ligado a um suporte com massa M, que pode se mover ao longo de uma linha na direção x. Seja x a coordenada ao longo da linha de apoio, vamos indicar a posição do pêndulo pelo ângulo θ em relação à vertical.

A energia cinética pode então ser descrita como:

${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{\mathrm {pend} }^{2}+{\dot {y}}_{\mathrm {pend} }^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right],\end{aligned}}}$

e a energia potencial do sistema é:

${\displaystyle V=mgy_{\mathrm {pend} }=-mg\ell \cos \theta .}$

O Lagrangiano é portanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=T-V\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mg\ell \cos \theta \\&={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}+m{\dot {x}}\ell {\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mg\ell \cos \theta \end{aligned}}}$

Agora realizando as diferenciações temos o apoio de coordenadas x

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[(M+m){\dot {x}}+m\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \right]=0,}$

portanto:

${\displaystyle (M+m){\ddot {x}}+m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta -m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0}$

indicando a presença de uma constante de movimento. 

Realizando o mesmo procedimento para a variável ${\displaystyle \theta }$ temos:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[m({\dot {x}}\ell \cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }})\right]+m\ell ({\dot {x}}{\dot {\theta }}+g)\sin \theta =0;}$

portanto

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {x}}{\ell }}\cos \theta +{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0.\,}$

Essas equações podem parecer bastante complicadas, mas encontrá-las com as leis de Newton teria exigido identificar cuidadosamente todas as forças, o que teria sido muito mais trabalhoso e propenso a erros. Ao considerar casos limite, a correção deste sistema pode ser verificada: 

Por exemplo, ${\displaystyle {\ddot {x}}\to 0}$ deve dar as equações de movimento para um pêndulo que está em repouso em algum inercial, Enquanto ${\displaystyle {\ddot {\theta }}\to 0}$ deve dar as equações para um pêndulo em um sistema de aceleração constante etc.

Gomes

Zero absoluto

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v • e

Numa escala progressiva, o zero absoluto seria a temperatura menor energiapossível. 

Teoricamente, seria a temperatura na qual a entropia atingiria seu valor mínimo que, segundo a interpretação clássica, a energia cinética e térmicamutuamente equivalem a zero. 

As leis da termodinâmica afirmam que o zero absoluto não pode ser alcançado utilizando-se apenas métodos termodinâmicos. Um sistema no zero absoluto ainda possui a menor quantidade de energia possível segundo a mecânica quântica - a energia cinética de seu estado menos energético não pode ser removida.

Sendo assim, o zero absoluto Kelvin ficou localizado a -273,15°C da escala Celsius que tem como referencial o ponto de congelamento da água  

Isto equivale a -459,67°F na escala Fahrenheit e 0 Ra na escala Rankine^]

Cientistas já atingiram temperaturas muito próximas do zero absoluto, onde a matéria exibe efeitos quânticos como, por exemplo, a supercondutividade e a superfluidez. 

A barreira do zero absoluto foi quebrada pela primeira vez pela equipe do físico alemão Ulrich Schneider, físico da Universidade Ludwig Maximilian em Munique. 

Schneider e seus colegas atingiram temperaturas abaixo do zero absoluto com um gás quântico ultrafrio composto por átomos de potássio.

Usando lasers e campos magnéticos, eles mantiveram os átomos individuais em um arranjo trançado. Em temperaturas positivas, os átomos se repelem, tornando a configuração estável, atingindo assim poucos bilionésimos de grau abaixo da marca do zero absoluto.

Escalas de temperatura absolutas

Temperatura absoluta, ou temperatura termodinâmica, é convencionalmente medida em Kelvins, que possui os mesmos incrementos da escala Celsius e é amplamente usada, ou em Rankine, que compartilha a mesma unidade da escala Fahrenheit e é raramente utilizada.

Escala	Zero absoluto	Ponto de fusão da água	Ponto de ebulição da água
Kelvin	0 K	273,15 K	373,15 K
Rankine	0 Ra	491,67 Ra	671,67 Ra
Celsius	-273,15 ºC	0 ºC	100 ºC
Fahrenheit	-459,67 ºF	32 ºF	212 ºF
Réaumur	-218,52 ºRé	0 ºRé	80 ºRé

A Termodinâmica do zero absoluto

Em temperaturas próximas a 0 K, praticamente todo movimento molecular cessa e a variação da entropia é nula para qualquer processo adiabático, de modo que substâncias puras podem formar (idealmente) cristais perfeitos conforme Ttende a 0. 

A terceira lei da termodinâmica de Max Planck afirma que a entropia de um cristal perfeito desaparece no zero absoluto. 

O teorema original do calor de Nernst faz a menos controversa afirmação que a variação na entropia para qualquer processo isotérmico tende a 0 conforme T também tende a 0:

${\displaystyle \lim _{T\to 0}\Delta S=0}$

Isso implica que a entropia de um cristal perfeito simplesmente se aproxima de um valor constante. O postulado de Nernst identifica a isoterma T = 0 como coincidente com a adiabata S = 0, embora outras isotermas e adiabatas sejam distintas. Já que duas adiabatas nunca se interceptam, somente a que representa S = 0 pode intersectar a isoterma T = 0. 

Consequentemente, nenhum processo adiabático que começa em uma temperatura diferente de zero pode levar ao zero absoluto.  

Uma afirmação mais assertiva é de que é impossível atingir o zero absoluto por qualquer procedimento em um número finito de etapas. 

O calor específico e a entropia de um cristal puro são proporcionais a T³, enquanto que a entalpia é proporcional a T⁴. 

Essas grandezas diminuem quando T tende a 0, também se aproximando de 0. 

O calor específico tende a 0 em qualquer material no zero absoluto, não necessariamente em cristais, assim como o coeficiente de expansão térmica. 

Segundo a relação entre a variação da Energia Livre de Gibbs, da entalpia e da entropia

${\displaystyle \Delta G=\Delta H-T\Delta S\,}$

quando T diminui, ΔG e ΔH se aproximam. 

Como em processos espontâneos ΔG < 0, quando T = 0, ΔH < 0 e o processo é exotérmico. 

Isto confirma que o estado mais estável de um sistema é o que envolve a maior liberação de calor.

Determinação experimental

Existem muitas maneiras experimentais de definir o zero absoluto, uma delas é utilizando um termômetro de gás a volume constante. 

Esse termômetro utiliza um bulbo cheio de gás (como o hélio por exemplo), com volume bem definido, acoplado a um manômetro por meio de um tubo capilar. 

O manômetro contém uma substância (como mercúrio por exemplo) e uma de suas extremidades está ligada ao bulbo com gás e a outra extremidade está aberta à pressão atmosférica. 

A pressão interna do gás no bulbo é dada pela expressão:

${\displaystyle p=p_{0}+\rho gh}$

Onde p₀ é a pressão atmosférica, &rho é a densidade do mercúrio, g é a constante gravitacional e h é o desnível entre os dois ramos de cada extremidade do manômetro.

Para medir uma temperatura usando esse termômetro, coloca-se o bulbo em contato térmico com a substância cuja temperatura se deseja medir, como por exemplo, a água em um recipiente com o bulbo imerso. 

Como o volume é constante e obtém-se o valor da pressão do gás por meio da expressão acima, podemos achar a temperatura por meio da equação de estado dos gases ideais.

Para definir a escala de temperatura do zero absoluto, faz-se medidas de duas temperaturas bem definidas, a temperatura da água no estado de fusão e no estado de vaporização.

Definimos as pressões correspondentes por Pf₀ e Pv₀ para uma massa M₀. 

Fazemos a mesma medida para uma quantidade de massa menor M₁ , obtemos os valores Pf₁ < Pf₀ e Pv₁ < Pv₀. Fazendo novamente a medida com uma massa M₂ temos Pf₂ < Pf₁ e Pv₂ < Pv₁ e assim sucessivamente até tornarmos o gás o mais rarefeito possível.

Colocando esses dados num gráfico obtém-se uma reta que, se for extrapolada (idealmente repetindo o experimento com diferentes gases), percebe-se que a medida que o gás fica mais rarefeito (menos quantidade de matéria) a razão Pv/Pf aproxima-se de um valor constante à medida que a quantidade de matéria tende a 0, ou seja:

Razão entre a temperatura de fusão e temperatura de vaporização em função da quantidade de matéria

${\displaystyle \lim _{M\to 0}\left({\frac {Pv}{Pf}}\right)=\lim _{M\to 0}\left({\frac {\frac {nRTv}{V}}{\frac {nRTf}{V}}}\right)=\lim _{M\to 0}\left({\frac {Tv}{Tf}}\right)\simeq 1,3661}$

Para concluir a definição dessa escala termométrica definimos a diferença entre Tf e Tg como sendo 100K (100 graus Kelvin) correspondendo com a diferença adotada para a escala Celsius.

Desse modo podemos isolar a temperatura Tf por meio das duas expressões acima, resultando em:

${\displaystyle Tv=100+Tf}$

${\displaystyle {\frac {Tv}{Tf}}=1,3661}$

${\displaystyle {\frac {100+Tf}{Tf}}=1,3661}$

${\displaystyle {\frac {100}{Tf}}+1=1,3661}$

${\displaystyle {\frac {100}{Tf}}=0,3661}$

${\displaystyle Tf={\frac {100}{0,3661}}}$

${\displaystyle Tf\simeq 273,15K}$

Logo a relação entre as duas escalas fica dada pela fórmula:

${\displaystyle T(}$^o${\displaystyle C)=T-Tf=T-273,15}$

Para descobrir o valor do zero absoluto na escala celsius tomamos T = 0

${\displaystyle Tc=0-273,15=-273,15}$^oC

História

Boyle foi o primeiro a ter a ideia do zero absoluto.

Robert Boyle foi o pioneiro da ideia de um zero absoluto. Sua obra de 1665, New Experiments and Observations touching Cold, articulou a disputa conhecida como primum frigidum. 

O conceito era bem conhecido por Naturalistas da época. Alguns afirmavam que uma temperatura mínima ocorria na terra (um dos chamados "quatro elementos"), outros no ar ou até na água. 

Mas todos concordavam que "Há algum corpo que é por sua própria natureza tão frio e que na sua companhia todos os outros corpos adquirem tal qualidade."

Limite para o "grau de frieza"

A questão sobre a existência ou não de um limite para o nível de frieza, e, se sim, onde deve ser colocado o zero, foi primeiro pensada pelo médico francês Guillaume Amontons em 1702, relacionada com as melhorias feitas no termômetro de ar. 

No seu instrumento, a temperatura era indicada pela altura na qual uma coluna de mercúrio era sustentada por uma certa massa de ar, o volume' ou "mola", variava com o calor a qual era submetido. 

Amontons portanto argumentou que o zero absoluto deveria ser a temperatura na qual o volume de ar era reduzido a nada. 

De acordo com a escala por ele utilizada, o ponto de ebulição da água era +73 e o ponto de fusão do gelo +51, portanto o zero de sua escala seria equivalente a cerca de -240°C. 

Essa aproximação do valor moderno adotado de -273,15°C para o zero no termômetro de ar foi melhorada em 1779 por Johann Heinrich Lambert, que observou -270°C como o "frio máximo".

Valores desta ordem para o zero absoluto não foram, entretanto, universalmente adotados nesse período. Pierre-Simon Laplace e Antoine Lavoisier, no seu tratado de 1780 sobre calor, chegaram a valores variando entre 1500 a 3000 graus abaixo do ponto de congelamento da água. John Dalton em Novo Sistema de Filosofia Química apresentou dez cálculos desse valor, e finalmente adotou -3000°C como o zero natural da temperatura.

Depois de James Prescott Joule ter determinado o equivalente mecânico do calor, Lorde Kelvin abordou o problema de um ponto de vista completamente diferente, e em 1848 inventou uma escala de temperatura absoluta que não dependia das propriedades da substância e era baseada somente nas leis fundamentais da termodinâmica. 

Ele baseou-se no princípio de que sua escala fosse construída com o zero em -273,15°C, quase a mesma temperatura do zero no termômetro de ar.^[12]

Temperaturas extremamente baixas

A rápida expansão dos gases que deixam a Nebulosa do Bumerangue, a 5000 anos luz da Terra, é a causa da menor temperatura já observada fora de um laboratório: 1 K.

O zero absoluto não pode ser atingido, porém é possível chegar a temperaturas muito próximas dele através do uso de refrigeradores criogênicos, e desmagnetização adiabática nuclear. 

O uso de resfriamento a laser já produziu temperaturas na ordem de bilhonésimos de Kelvin.^[13] Em temperaturas extremamente baixas, nas vizinhanças do zero absoluto, a matéria exibe muitas propriedades extraordinárias, incluindo a supercondutividade (quando a matéria não exibe resistência elétrica), a superfluidez (quando a viscosidade de um fluido é zero) e a Condensação de Bose-Einstein.

Recordes

Até 2004, a temperatura mais baixa obtida para um condensado Bose-Einstein era de 450 pK, ou 0,00000000045 K, obtida por Wolfgang Ketterle e colegas do MIT.^[14]A mais baixa temperatura já obtida foi de 100 pK, durante uma experiência de ordenação magnética nuclear em 1999 no Laboratório de Baixas Temperaturas da Universidade de Tecnologia de Helsinque^[15]. Mas recentemente foram feitos experimentos em 2012 onde foi possível ultrapassar o zero absoluto, uma coisa que até então se acreditava ser impossível. 

Para chegar a esse resultado, cientistas da Universidade Ludwig Maximilian, na Alemanha, criaram um gás quântico com átomos de potássio alinhados de maneira específica com a ajuda de lasers e campos magnéticos. 

Assim, quando os campos magnéticos foram rapidamente ajustados, os átomos passaram de um estado de baixa energia para um estado com o mais alto nível de energia possível. 

Essa transição, aliada ao fato de que os átomos continuaram em ordem graças ao feixe laser, fez com que a temperatura do gás ultrapassasse alguns bilionésimos de graus abaixo da temperatura de zero absoluto (-273,15° C). O físico teórico Achim Rosch, da Universidade de Colônia, na Alemanha, calcula que, em um sistema como esse, os átomos abaixo do zero absoluto passam a flutuar em vez de serem puxados pela gravidade. 

Outra peculiaridade desse gás é que ele passa a se comportar de maneira semelhante à da energia escura, força que ainda é considerada como um dos mistérios ainda não resolvidos da Física e que tem papel fundamental na expansão do universo, já que desafia a gravidade que tenta fazer o universo voltar para o seu centro.