Euclides de Alexandria

Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.)
foi um professor, matemático platónico e escritor de origem desconhecida, criador da famosa geometria euclidiana: o espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica, que se manteve incólume no pensamento matemático medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser construídos modelos de geometrias não-euclidianas. Teria sido educado em Atenas e freqüentado a Academia dePlatão, em pleno florescimento da cultura helenística. Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de professores da recém fundada Academia, que tornaria Alexandria no centro do saber da época, tornou-se o mais importante autor de matemática da Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos, com seu monumental Stoichia (Os elementos,300 a.C.), no estilo livro de texto, uma obra em treze volumes, sendo cinco sobre geometria plana, três sobre números, um sobre a teoria das proporções, um sobre incomensuráveis e os três últimos sobregeometria no espaço. Escrita em grego, a obra cobria toda a aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas até então no mundo grego, reunindo o trabalho de seus predecessores, como Hipócrates eEudóxio, e sistematizava todo o conhecimento geométrico dos antigos e intercalava os teoremas já conhecidos então com a demonstração de muitos outros, que completavam lacunas e davam coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele criado. Após sua primeira edição foi copiado e recopiado inúmeras vezes e, vertido para o árabe (774), tornou-se o mais influente texto científico de todos os tempos e um dos com maior número de publicações ao longo da história. Depois da queda do Império Romano, os seus livros foram recuperados para a sociedade européia pelos estudiosos muçulmanos dapenínsula Ibérica. Escreveu ainda Óptica (295 a.C.), sobre a óptica da visão e sobre astrologia,astronomia, música e mecânica, além de outros livros sobre matemática. Entre eles citam-se Lugares de superfície, Pseudaria, Porismas e mais algumas outras. Algumas das suas obras como Os elementos, Os dados, outro livro de texto, uma espécie de manual de tabelas de uso interno na Academia e complemento dos seis primeiros volumes de Os Elementos, Divisão de figuras, sobre a divisão geométrica de figuras planas, Os Fenômenos, sobre astronomia, e Óptica, sobre a visão, sobreviveram parcialmente e hoje são, depois de A Esfera de Autólico, os mais antigos tratados científicos gregos existentes. Pela sua maneira de expor nos escritos deduz-se que tenha sido um habilíssimo professor. O livro "Os Elementos" é dividido em 13 partes. As partes de 1 a 6 tratam da Geometria plana; de 7 a 9 tratam da Teoria dos números; a parte 10 trata da Teoria dos números irracionais de Eudóxio; as partes 11 a 13 tratam da geometria dos sólidos. O livro termina com uma discussão sobre as propriedades dos cinco poliedros regulares e demonstra que existem apenas cinco deles. Este rigor na formalização tornou-se o principal objetivo dos inventores do cálculo séculos mais tarde. Foi o mais afamado dos tratadistas gregos em matéria de geometria, que habitou em Alexandria nos finais do séc. IV e princípios do séc. III a.C. Grande número de geómetras gregos haviam dado, antes de Euclides, elementos de geometria, mas Euclides foi o primeiro que fez demonstrações rigorosas. Foi ele quem introduziu o método da "redução ao absurdo", que permite evitar as considerações directas do infinito e dos incomensuráveis. Euclides ditou 35 definições e 15 postulados ou axiomas. Os matemáticos da antiguidade, já possuíam certos conhecimentos geométricos. Os Gregos foram indiscutivelmente os que se interessaram mais pelos fundamentos teóricos da geometria que pela sua aplicação prática atribui a esta ciência um impulso e desenvolvimento prodigioso. Mas foi quase três séculos antes de Jesus Cristo, que um geómetra grego que residia em Alexandria impôs a si próprio a tarefa de reunir e ordenar todos os trabalhos dos seus predecessores , bem como o fruto das suas próprias investigações. Nascido no século III antes de Jesus Cristo, Euclides deixou-nos uma obra que já perdura à mais de dois milénios. Esta obra intitula-se Elementos. Autor de um célebre e monumental tratado em 13 volumes, intitulado elementos, como referi anteriormente, expõem de uma forma lógica os principais conhecimentos da sua época de Geometria e Aritmética, tendo esta obra marcado esse campo de conhecimento até ao século XIX. Os quatro primeiros volumes fazem referência à geometria plana, e estão consagrados aos triângulos, aos rectângulos, aos círculos e aos polígonos. O volume V trata da teoria geral das grandezas e das suas relações; o volume VI aplica essa teoria à geometria plana (semelhança). Os quatro volumes seguintes (do VII ao IX) são dedicados à teoria dos números e contêm, em especial, duas demonstrações exemplares: a prova da existência de uma infinidade de números primos e a prova da irracionalidade do número v 2. Os três últimos volumes estão consagrados à geometria do espaço. O volume XI é uma introdução a esta geometria; o Volume XII trata das pirâmides, cones e cilindros e o XIII refere-se aos sólidos regulares. Os Elementos de Euclides têm uma importância excepcional na história das matemáticas. Com efeito, não apresentam a geometria como um mero agrupamento de dados desconexos, mas antes como um sistema lógico: - As definições, os axiomas ou postulados e os teoremas não aparecem agrupados ao acaso, mas antes expostos numa ordem perfeita; - Cada teorema resulta das definições, dos axiomas e dos teoremas anteriores, de acordo com uma demonstração rigorosa. Euclides foi o primeiro a utilizar este método, chamado axiomático. Desta maneira, os seus Elementos constituem o primeiro e mais nobel exemplo do sistema lógico, tema que muitas outras ciências imitaram e continuam a imitar. No entanto, não nos podemos esquecer de que Euclides se esforçou por axiomatizar a geometria com os meios de que dispunha na época. É, pois, fácil compreender que o sistema que escolheu este grande geómetra grego apresente algumas deficiências; a falta de base de algumas das suas demonstrações deve-se a que, involuntariamente, admitiu determinados resultados, muitas intuitivos, mas sim fornecer a sua demonstração. Desde Euclides, em todas as exposições de geometria, antigas ou modernas, figura um axioma justamente célebre, chamado postulado ou axioma de Euclides. Enuncia-se da seguinte forma: «Por um ponto exterior a uma recta passa uma paralela a essa e só uma.» O próprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar esta preposição a partir de outros axiomas da geometria, mas sempre em vão. Esta impossibilidade em demonstrar o postulado das paralelas de Euclides foi durante séculos o escândalo da geometria e o desespero dos geómetras. Foi necessário esperar até ao século XIX para que Carl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, Bernard Diemann e Nicolai Ivanovich Lobachevski conseguissem demonstrar que se trata efectivamente de um axioma, necessário e independente dos outros e não um teorema. De que maneira chegaram a tais resultados? Supuseram que o postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas. Todos se deram então conta de que, substituindo o axioma das paralelas, era possível construir duas geometrias diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduziam a nenhuma contradição. Apesar de serem dificilmente concebíveis, estas duas novas geometrias foram a pouco e pouco reconhecidas como alternativas legítimas: chegou-se mesmo a demonstrar que, se qualquer das duas pudesse apresentar alguma contradição, a própria geometria euclidiana seria também contraditória. Desde então encontramo-nos perante três sistemas geométricos diferentes: - A geometria euclidiana, por vezes também chamada parabólica; - A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica; - A geometria do alemão Riemann, ou elíptica. Estas últimas recebem o nome de geometrias não euclidianas. Riemann elaborou uma teoria geral dos «espaços de curvatura variável» que compreendia como casos particulares: os espaços euclidianos, de curvatura nula; os espaços hiperbólicos, de curvatura constante negativa, e finalmente os espaços elípticos, de curvatura constante positiva. A partir destes conceitos pode dizer-se com justiça que Riemann exerceu sobre a matemática moderna uma grande influência. As geometrias não euclidianas, tão desconcertantes para os profanos, foram utilizadas na prática pela primeira vez, e de maneira espectacular, por Albert Einstein, no começo deste século. Com efeito, na teoria dos espaços de curvatura variável de Riemann, este grande físico encontrou as bases matemáticas de que necessitava para a elaboração da sua teoria da relatividade geral, uma das tentativas mais prodigiosas levadas a cabo pela mente humana para se aproximar da compreensão do universo. Euclides baseou a sua geometria em três tipos de enunciados: as definições, os postulados e os axiomas actualmente, não se estabelecem distinções entre ambos. Os axiomas ou postulados de Euclides são dez. Cinco deles são comuns a todas as ciências em que se estudam grandezas: 1. Duas quantidades iguais a uma terceira são iguais entre si. 2. Se juntarmos a duas quantidades iguais outras duas quantidades iguais, os totais obtidos serão iguais. 3. Se subtrairmos de duas quantidades iguais outras duas quantidades iguais, as diferenças obtidas serão iguais. 4. As coisas que se podem sobrepor umas ás outras são iguais. 5. O todo é maior que a parte. Os outros cinco postulados são específicos da geometria: 6. Podemos sempre traçar uma recta entre dois pontos. 7. Podemos sempre prolongar as duas extremidades de um segmento rectilíneo e obter assim uma recta infinita contínua. 8. Para determinar um círculo, basta indicar o seu centro e um qualquer dos seus raios. 9. Todos os ângulos rectos são iguais entre si. 10. Por um ponto exterior a uma recta, podemos traçar uma paralela a essa recta a uma só. Este último postulado é duplamente célebre: por um lado, devido às inúteis tentativas realizadas para o demonstrar a partir dos postulados anteriores; por outro, devido às consequências que teve para o desenvolvimento da geometria a sua substituição por um dos qualquer dos seguintes axiomas: 10/a . Por um ponto exterior a uma recta, podemos traçar uma infinidade de paralelas a esta recta (geometria de Lobachevski). 11/b . Por um ponto exterior a uma recta , não podemos traçar nenhuma paralela a esta recta (geometria de Riemann). Os elementos de Euclides não tratam apenas de geometria, mas também de teoria dos números e álgebra elementar (geométrica). O livro se compõe de quatrocentos e sessenta e cinco proposições distribuídas em treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o livro X sobre incomensuráveis e os três últimos tratam sobre geometria no espaço. O livro I começa com definições, axiomas e postulados. As quarenta e oito proposições se distribuem em três grupos: as primeiras vinte e seis tratam de propriedades do triângulo e incluem os três teoremas de congruência; as proposições de vinte e sete a trinta e dois estabelecem a teoria das paralelas e provam que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos; as proposições de trinta e três a quarenta e seis lidam com paralelogramos, triângulos e quadrados, com atenção especial a relações entre áreas; a proposição quarenta e sete é o Teorema de Pitágoras, com a demonstração atribuída ao próprio Euclides e a proposição quarenta e oito é o recíproco do Teorema de Pitágoras. Acredita-se que a maioria do material desse livro foi desenvolvido pelos antigos pitagóricos. O livro II apresenta quatorze proposições que lidam com transformações de áreas e com a álgebra geométrica da escola pitagórica, que inclui os equivalentes geométricos de muitas identidades algébricas. O livro III, consiste em trinta e nove proposições contendo muitos dos teoremas familiares sobre círculos, cordas, secantes, tangentes e medidas de ângulos. No livro IV, encontramos dezesseis proposições que discutem a construção, com régua e compasso, de polígonos regulares de três, quatro, cinco, seis e quinze lados, bem como inscrição desses polígonos num círculo dado. O livro V é uma exposição da teoria das proporções de Eudoxo. Foi por meio dessa teoria, aplicável tanto a grandezas comensuráveis como a grandezas incomensuráveis, que se resolveu o problema dos números irracionais descobertos pelos pitagóricos. O livro VI aplica a teoria eudoxiana das proporções à geometria plana. Encontramos nele os teoremas fundamentais da semelhança de triângulos; construções de terceira, quartas e médias proporcionais; a resolução geométrica de equações quadráticas; a demonstração que a bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos outros dois lados; uma generalização do teorema de Pitágoras na qual, em vez de quadrados, traçam-se sobre os lados de um triângulo retângulo três figuras semelhantes descritas de maneira análoga. O livro VII começa com o processo, hoje conhecido como algoritmo euclidiano, para achar o máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros e o usa para verificar se dois inteiros são primos entre si; encontramos também uma exposição da teoria das proporções numérica ou pitagórica. O livro VIII ocupa-se largamente das proporções contínuas e progressões geométricas relacionadas. O livro IX contém muitos teoremas significativos: teorema fundamental da aritmética ( todo número inteiro maior que 1 pode se expressar como produtos de primos); fórmula da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica; fórmula para números perfeitos. O livro X focaliza os irracionais, isto é, comprimentos de segmentos de reta incomensuráveis com um segmento de reta dado. Os três últimos livros, XI, XII, XIII tratam de geometria sólida. As definições, os teoremas sobre retas e planos no espaço e os teoremas sobre paralelepípedos se encontram no livro XI. O método de exaustão desempenhada um papel importante na abordagem de volumes do livro XII. No livro XIII se desenvolvem construções visando a inscrição dos cinco poliedros regulares numa esfera. Uma edição completa das obras de Euclides foi publicada em Leipzig, com o título Opera omnia, em oito volumes, com texto grego e latim em (1883-1916). Não se sabe exatamente como foi a sua morte. J.P.Gomes

Motivar seus Funcionários

Como Orientar, Avaliar e Motivar seus Funcionários Técnicas para fazer o pessoal trabalhar e crescer a favor da empresa
Uma empresa, seja qual for seu tamanho ou área de atuação, ergue-se sempre sobre um elemento básico, que a sustenta e faz crescer - seus funcionários.
As grandes idéias não se concretizam, os grandes empreendedores não se realizam, se não puderem contar com a atividade de profissionais capazes de dar vida a um bom negócio.
O sucesso de qualquer empreendimento passa pelo desempenho de seus funcionários, e, por isso, é muito importante manter um grupo de pessoas competentes e altamente estimuladas, que se sintam reconhecidas, valorizadas e encontrem espaço e oportunidade de crescimento e realização pessoal dentro da estrutura à qual dedicam seu potencial e seu talento.
Se um profissional sente que só poderá crescer em outro lugar, seu conhecimento acumulado e o capital investido nele passam a beneficiar a concorrência.
Portanto, procure fazer com que o fator humano de sua empresa trabalhe e cresça a seu favor. Lembre-se que você está lidando com seres humanos, não com peças de uma engrenagem. Estão em jogo emoções e suscetibilidades, que não podem ser desprezadas.
De fato, podem e devem ser muito bem aproveitadas.
Para tanto, é necessário, em primeiro lugar, preparar os profissionais que você contrata para que possam, no menor período de tempo possível, começar a dar o retorno que deles se espera.
Uma vez integrados à estrutura, é preciso avaliá-los, de forma a identificar suas potencialidades e definir como elas podem ser aplicadas em benefício da empresa.
Em seguida, é interessante direcioná-los para que atuem da forma mais conveniente - tanto para eles quanto para a organização.
E, por fim, estimulá-los para que continuem aperfeiçoando-se e levando a empresa a crescer na velocidade do desenvolvimento pessoal de cada um deles.
 Orientando com eficácia
Quando um profissional inicia seu trabalho em uma nova empresa, normalmente leva algum tempo até se ambientar.
Não sabe ao certo onde vai trabalhar, ou exatamente como vai fazê-lo.]
 Não conhece os colegas, os costumes, as características da organização.
Não está a par de nenhuma daquelas pequenas coisas que fazem parte do expediente que, para os funcionários mais antigos, já são tão familiares.
Está ávido por colaborar, mas não sabe como.
E acaba enfrentando frustrante processo até conseguir ganhar seu próprio espaço dentro da empresa.
Fazer com que um novo funcionário fique seguro e perfeitamente à vontade desde o seu primeiro dia de trabalho não é apenas um detalhe de delicadeza humana que devemos a todos sempre que as circunstâncias tornarem necessário.
É, também, uma estratégia gerencial, para que os novos contratados passem a produzir o mais depressa possível.
O profissional que desde o início conhece as prerrogativas de seu cargo tem mais chances de acertar.
É preciso provê-lo com o máximo de informações possíveis para que não perca tempo tentando descobrir sozinho o que já está mais do que identificado.
Os objetivos básicos do processo de orientação são os seguintes:
• Comunicar os valores e prioridades da empresa - todo funcionário gosta de se sentir parte dela. Com isso, ele é mais estimulado a colaborar, a lutar por objetivos que são seus também.
Conhecer a cultura da empresa, suas tradições, sua história, leva o profissional a sentir-se mais integrado à organização;
• Criar um modelo de comportamento - as empresas são conhecidas pela forma como atuam, como realizam o seu trabalho, a qualidade de seus produtos e serviços, a forma como lidam com clientes e fornecedores.
É preciso que o novo funcionário saiba o que se espera dele em termos de atitude profissional, para que se enquadre aos padrões de qualidade já conquistados pela empresa e atue de acordo com eles;
 • Tornar a adaptação mais rápida - ao conhecer as pessoas com as quais compartilhará os dias de trabalho o novo funcionário sente-se mais seguro, mais à vontade.
É importante que, desde o início, tenha um local preparado para ele, alguma atividade que possa realizar de imediato, e o material necessário.
Tratado assim, ele vai sentir-se valorizado, necessário e, de imediato, será capaz de fazer contribuições positivas para a empresa;
• Aumentar o aproveitamento do tempo - fornecer informações concretas, tais como o procedimento para conseguir material de trabalho, a quem recorrer se tiver dúvidas ou enfrentar problemas, como usufruir dos benefícios oferecidos pela organização, como e quando receber o salário e coisas do gênero diminuem a ansiedade própria das novas condições de trabalho e evitam que ele perca tempo produtivo tentando descobri-las;
• Estabelecer a integração do funcionário à empresa - profissionais novos podem ter bons conhecimentos teóricos, mas, às vezes, deixam a desejar no lado prático. Precisam de orientação específica sobre o que fazer e como fazê-lo.
Os mais antigos, vindos de outras empresas ou talvez até de um período de trabalho autônomo, trarão consigo alguns vícios, algumas características que entram em conflito com os padrões da atual, mas também grande bagagem de experiência e conhecimento.
Devem saber exatamente o que ela precisa para que correspondam da melhor forma possível.
É interessante ouvi-los, respeitá-los, nunca descartando a possibilidade de crescer um pouco mais, aprendendo com eles. Você pode planejar um programa de orientação para os novos funcionários a partir de alguns pontos básicos:
1. fornecer informações sobre os negócios, objetivos e posicionamento da empresa no mercado;
2. definir a posição que ele ocupa na organização e o que pode fazer para assegurar que esses objetivos sejam alcançados;
3. envolver todos os funcionários mais antigos da empresa no processo de orientação e adaptação do profissional recém-contratado;
4. evitar o excesso de informações, começando com as prioridades e permitindo que elas sejam devidamente assimiladas;
5. ter tudo preparado para a chegada do funcionário (local de trabalho, material, uma tarefa) para que ele não se sinta entediado, constrangido ou intimidado;
 6. permitir que o funcionário tenha tempo de aprender as maneiras e razões para fazer com que tudo funcione antes de iniciá-lo nas tarefas cotidianas;
7. ser atencioso com o recém-chegado durante os primeiros dias no emprego a fim de demonstrar que todos se preocupam com o seu sucesso;
8. acompanhar sempre o programa para verificar se os objetivos estão sendo atingidos Publicado na revista Sala do Empresário - Ed. 13 /www.empresário.com.br/

J.P.Gomes